Calcul d'un volume
La construction de grands édifices à usage domestique à, comme pour la construction des pyramides et d’autres édifices remarquables, été rendu possible par la découverte de savantes méthodes de calculs permettant de déterminer des volumes, tels que ceux des greniers à blé sur lequel nous allons maintenant nous appuyer.
A ce jour seuls quelques papyrus nous montrent les méthodes de calculs égyptiens, parmi eux, le papyrus Rhind, le papyrus Kahun et le papyrus de Moscou nous expliquent les formules utilisées que nous allons voir ci dessous :
VOLUME D’UN CUBE
Grace à la découverte du papyrus Rhind, qui est à ce jour le meilleur exemple de l’ingéniosité égyptienne en matière de problèmes mathématiques et de méthodes de calcul, nous savons désormais que la formule du volume d’un solide de forme cubique était connue des anciens égyptiens : V = l*L*H où l, L, et H sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.
En voici un exemple tiré du problème R44 du papyrus Rhind :
« Calcul d'un grenier rectangulaire. Sa longueur est 10, sa largeur est 10 et sa hauteur est 10. Quel montant de grain cela fait-il ? Multiplie 10 par 10. Cela fait 100. Multiplie 100 par 10. Cela fait 1000. Ajoute à cela la moitié de 1000, soit 500. Cela fait 1500. C'est sa quantité en khar. Prends 1/20 de 1500. Cela fait 75, sa quantité en quadruple-heqat, soit 7500 heqat de grain. »
VOLUME D’UN CYLINDRE
Grâce à ce même papyrus, les égyptologues ont aussi découvert que les calculs de volume d’un cylindre étaient déjà connus des égyptiens et qu’ils intervenaient dans les études du contenu des greniers à blé dont la base était ronde. Ainsi, les représentations égyptiennes de ce type de grenier à blé sont fréquentes (voir image « grenier à blé égyptien » dans la rubrique « Galerie photo »).
En voici un exemple tiré du problème R41 du papyrus Rhind :
« Calcul d’un grenier rond dont le diamètre est 9 et la hauteur 10: on extrait 1/9 de 9, soit 1. Le reste est 8. On multiplie 8 par 8. Cela fait 64. On multiplie 64 par 10. Cela fait 640 coudées (c'est-à-dire environ m). On ajoute la moitié de cela à cela (sous entendue multiplié par 3/2). Cela fait 960 : le contenu en khar. Prends 1/20 de 960, soit 48. C'est ce que cela donne en quadruple-heqat de grains, 48 heqat. »
La formule algébrique correspondante serait donc celle-ci :
Volumecylindre en khar = [(d − (1 / 9) * d)2] * h * (3 / 2), avec d comme diamètre du disque et h, la hauteur du cylindre.
VOLUME D'UNE PYRAMIDE TRONQUEE
Une fois de plus grâce au papyrus de Moscou (issu du même papyrus que le papyrus de Rhind), nous avons pu affirmer que les Égyptiens avaient des connaissances poussées en mathématiques. En effet le moyen mis en œuvre pour déterminer une méthode aussi complexe nous est encore inconnu.
- Énoncé du problème M14 du papyrus de Moscou :
« Méthode de calcul d'une pyramide tronquée. Si on te dit : Une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet. Calcule le carré de 4. Le résultat est 16. Prends le double de 4. Le résultat est 8. Prends le carré de 2. Le résultat est 4. Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4. Le résultat est 28. Prends 1/3 de 6. Il vient 2. Prends 2 fois 28. Il vient 56. Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct. »
Ce que nous pouvons traduire par V = 1/3*h(B²+Bb+b²). Cette formule est la valeure exacte du volume d'une pyramide tronquée, à une exception près : cette formule utilise les dimensions des carrés alors que la forume d'aujourd'hui utilise les aires.